下記の複二次式の因数分解について考えてみます。
\(x^4-7x^2y^2+y^4\)

テキスト解答
\(x^4-7x^2y^2+y^4\)
\(=(x^4+2x^2y^2+y^4)-9x^2y^2\)
\(=(x^2+y^2)^2-(3xy)^2\)
\(=\{(x^2+y^2)+3xy\}\{(x^2+y^2)-3xy\}\)
\(=(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)\)

別解
\(x^4-7x^2y^2+y^4\)
\(=(x^4-2x^2y^2+y^4)-5x^2y^2\)
\(=(x^2-y^2)^2-(\sqrt5xy)^2\)
\(=\{(x^2-y^2)+\sqrt5xy\}\{(x^2-y^2)-\sqrt5xy\}\)
\(=(x^2+\sqrt5xy-y^2)(x^2-\sqrt5xy-y^2)\)

別解でも因数分解の条件が無理数を含まないという場合であれば正解になると思いますが、いかがでしょうか？

Polonium